Ein rechtwinkliges Dreieck ist gegenüber allgemeinen Dreiecken ein spezielles Dreieck, da es, wie der Name schon sagt, einen rechten Winkel bzw. einen 90-Grad-Winkel hat.
Im Folgenden rechnen wir anhand von Beispielen alle wichtigen Werte des rechtwinkligen Dreiecks mittels der speziellen Formeln und Berechnungsvorschriften für rechtwinklige Dreiecke aus.
Auf der Seite zu unserem Dreieck-Rechner erhalten Sie übrigens zahlreiche Informationen zur Berechnung nicht nur rechtwinkliger, sondern auch allgemeiner Dreiecke. Oder besuchen Sie unsere Ratgeber zu den Themen Flächeninhalt im Dreieck und Gleichseitige Dreiecke.
Definition und Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck
Bevor wir näher auf die Berechnungen von rechtwinkligen Dreiecken eingehen, hier zunächst noch eine kurze Definition sowie eine Beschreibung der speziellen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck.
Ein Dreieck ist durch drei Punkte in der Ebene definiert, welche nicht auf einer Geraden liegen. Diese drei Punkte sind die Ecken des Dreiecks. Jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Ecken ist eine Seite des Dreiecks. In der Ebene begrenzt das Dreieck damit eine Fläche.
Das rechtwinklige Dreieck ist insofern speziell gegenüber einem allgemeinen Dreieck, als dass einer der drei Winkel ein rechter Winkel, also ein 90-Grad-Winkel ist. In der hier angezeigten Abbildung ist der rechte Winkel oben an Ecke C zu erkennen. Er wird mit dem dritten griechischen Buchstaben γ (gamma) bezeichnet, während die Winkel bei Ecke A mit α (alpha) und bei Ecke b mit β (beta) bezeichnet werden.
Wie üblich, sind die Ecken im Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben A, B, C versehen und die den Ecken jeweils gegenüberliegenden Seiten mit den korrespondierenden Kleinbuchstaben a, b und c.
Was sind Katheten?
Als Katheten bezeichnet man im rechtwinkligen Dreieck die beiden Seiten, die den rechten Winkel umschließen. Da in der Abbildung der rechte Winkel bei Ecke C liegt, also γ ist, sind die Katheten die beiden umschließenden Seiten a und b.
Was ist die Ankathete und Gegenkathete?
Die beiden Katheten werden in Abhängigkeit des zu betrachtenden Winkels auch als Ankathete und Gegenkathete bezeichnet.
Betrachtet man in der Abbildung den nicht rechten Winkel α bei Ecke A, so ist Seite b die Ankathete zu a (liegt an dem zu untersuchenden Winkel α). Die zweite, dem Winkel α gegenüberliegende Kathete a ist die Gegenkathete zu a. Betrachtet man hingegen den zweiten nicht rechtwinkligen Winkel β bei Ecke B, so erfolgt die genauere Bezeichnung der beiden Katheten umgekehrt: die Ankathete zu β ist a und die Gegenkathete zu β ist die genüberliegende Kathete b.
Was ist die Hypotenuse?
Während die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck die beiden umschließenden Seiten des rechten Winkels sind, ist die Hypotenuse die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt. Liegt der rechte Winkel, wie in der Abbildung, bei Punkt C, so ist die gegenüberliegende Seite c die Hypotenuse. Dadurch, dass der rechte Winkel immer der größte Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist, ist auch die Hypotenuse immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.
Rechtwinklige Dreiecke unterscheiden sich von allgemeinen Dreiecken lediglich darin, dass ein Winkel mit 90 Grad bereits bekannt ist. Generell kann man ein Dreieck u.a. genau dann eindeutig bestimmen, wenn ein Winkel und die beiden umschließenden Seiten zu diesem Winkel bekannt sind. Daher reicht es zur Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks aus, wenn nur die beiden Katheten, also die den rechten Winkel umschließenden Seiten bekannt sind.
Aber auch der rechte Winkel selbst sorgt dafür, dass einige Formeln und Rechenwege für die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke wesentlich einfacher, als im allgemeinen Dreieck sind. Beispielsweise entspricht in obiger Abbildung die Höhe zu a genau der Länge von Seite b und umgekehrt. Das heißt, die Höhe zu einer Kathete ist die Länge der jeweils anderen Kathete. Im allgemeinen Dreieck müssen hingegen zur Berechnung dieser Höhen trigonometrische Funktionen genutzt werden.
Beispiel zur Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks
Im Folgenden zeigen wir Ihnen ein Beispiel zur Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks, bei dem die beiden Katheten bekannt sind. Anhand dieser beiden gegebenen Werte können nun die übrigen Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks schrittweise eindeutig bestimmt werden.
Gegeben
Gegeben sei die Kathete a = 4 cm und die Kathete b = 5 cm.
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist damit auch bereits der Winkel γ mit 90 Grad bekannt.
Gesucht
Gesucht ist die noch fehlende Seite c, der Umfang und die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, die übrigen beiden Winkel α und β sowie die Höhen zu allen drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.
Diese Werte können Sie im Rechner zum rechtwinkligem Dreieck nach Auswahl von "Zwei Katheten bei rechtwinkligem Dreieck" unter "Welche Werte sind gegeben?" eingeben. Der Rechner berechnet dann - wie auch bei den folgenden Berechnungen - alle gesuchten Werte für das Dreieck und gibt zudem ein grafisches Ergebnis des berechneten Dreiecks aus.
Wie wird die Fläche im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Bei einem rechtwinkligen Dreieck umschließen die beiden bekannten Katheten (hier a und b) den rechten Winkel. Daher gilt die Formel
Formel für Fläche im rechtwinkligen Dreieck
F = ½ × a × b
Einsetzen der vorhandenen Werte für die Katheten
Setzt man die Werte für die Katheten ein, so erhält man
F = ½ × 4 × 5 = 10 cm²
Lösung
Die Fläche F des rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm².
Die verwendete Formel ist aufgrund des rechten Winkels zwischen den zwei bekannten Seiten eine Vereinfachung der Flächenformel für allgemeine Dreiecke, die hier im Rechner unter "Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel" verwendet wird.
Die Flächenformel für rechtwinklige Dreiecke lässt sich veranschaulichen, indem man das rechtwinklige Dreieck dupliziert und die beiden Dreiecke an ihrer längsten Seite - der Hypotenuse - so aneinander legt, dass ein Rechteck entsteht.
Dieses Rechteck hat die Fläche a × b (Kathete a mal Kathete b). Somit hat das Dreieck vor dem Duplizieren genau die halbe Fläche, also ½ × a × b.
Wie wird die fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Anhand der gegebenen Größen für die beiden Katheten a und b sowie für den rechten Winkel γ kann die Länge der noch unbekannten dritten Seite c, also der Hypotenuse mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnet werden.
Formel: Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
und umgestellt nach c
c = a² + b²
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte für die Katheten a = 4 und b = 5 ein, so erhält man
c = 4² + 5² ≈ 6,4
Lösung
Die Hypotenuse, also die fehlende dritte Seite c hat eine Länge von rund 6,4 cm.
Wie wird der Umfang im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Anhand der gegebenen Längen für die beiden Katheten, als für die Seiten a und b sowie der inzwischen berechneten Länge der Hypotenuse, also der Seite c kann der Umfang des Dreiecks folgendermaßen bestimmt werden.
Formel: Umfang U eines rechtwinkligen Dreiecks
Der Umfang jedes Dreiecks ist die Summe der Länge aller drei Seiten a, b und c.
U = a + b + c
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die gegebenen Werte a = 4 und b = 5 sowie den bereits berechneten Wert für c = 6,4 ein, so erhält man
U = 4 + 6 + 6,4 = 16,4
Lösung
Der Umfang des rechtwinkligen Dreiecks beträgt 16,4 cm.
Wie werden die fehlenden Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Berechnung Winkel α
Zunächst berechnen wir Winkel α: Die beiden bekannten Katheten sind die Seiten a und b. Der Winkel α liegt an der Kathete b und gegenüber der Kathete a des Dreiecks. Er hat also die Ankathete b = 5 cm und die Gegenkathete a = 4 cm .
Formel zur Winkelberechnung von α im rechtwinkligen Dreieck
tan α = Gegenkathete α / Ankathete α = a / b
Stellt man die Formel nach α um, so erhält man mit der Umkehrfunktion des Tangens, dem Arcustangens arctan
α = arctan (a / b)
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die Werte für die Gegenkathete a = 4 und die Ankathete b = 5 ein, so erhält man
α = atan (4 / 5) = 0,67474 rad
Zwischenlösung
Der Winkel α des Dreiecks beträgt 0,67474 rad.
Hier haben wir zunächst das Bogenmaß (Radiant) des Winkels α, abgekürzt "rad", berechnet. Mit Hilfe eines Taschenrechners kann man das Ergebnis übrigens auch sofort in Grad berechnen lassen. Hier nehmen wir die Umrechnung noch schrittweise vor: Die Umrechnung des Bogenmaßes nach Grad erfolgt über die Formel
Formel: Umrechnung von Radiant nach Grad
α° = α rad × 180 / π
Setzt man das Zwischenergebnis α rad ein, so erhält man
α° = 0,67474 rad × 180 / 3,14 ≈ 38,66°
Lösung
Der Winkel α des Dreiecks beträgt 38,66°.
Berechnung Winkel β
Nun, da der Winkel α berechnet ist und der rechte Winkel γ mit 90° ohnehin gegeben ist, kann der verbleibende Winkel β berechnet werden. Hierzu kann der Winkelsummensatz genutzt werden.
Formel: Winkelsummensatz
Die Summe der drei Innenwinkel α, β und γ in einem Dreieck beträgt stets 180 Grad.
α° + β° + γ° = 180°
Stellt man den Winkelsummensatz um nach β, so erhält man
β° = 180° − α° − γ°
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man den bereits berechneten Winkel für α sowie den gegebenen Winkel γ ein, so erhält man
Wie werden die Höhen im rechtwinkligen Dreieck berechnet?
Höhe zu a und b
Im rechtwinkligen Dreieck entspricht die Höhe zur Kathete a genau der Länge der anderen Kathete, also von Seite b.
Dies liegt daran, dass die Seite b als Kathete im rechten Winkel, also senkrecht auf a steht und zu dem der Seite a gegenüberliegenden Punkt A des Dreiecks führt.
Analog ist die Höhe zur Kathete b gleich der Länge von a.
Formel für Höhe zu a im rechtwinkligen Dreieck
Die Höhe zu Kathete a ist gleich der Länge der zweiten Kathete b
ha = b
Formel für Höhe zu b im rechtwinkligen Dreieck
Die Höhe zu Kathete b ist gleich der Länge der zweiten Kathete a
hb = a
Lösung
Die Höhe zu a, also ha beträgt 5 cm und die Höhe zu b beträgt 4 cm
Höhe zu c
Zur Berechnung der Höhe zur Hypotenuse c kann nun die folgende Formel genutzt werden
Formel für Höhe zur Hypotenuse c im rechtwinkligen Dreieck
hc = a × sin β
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man die bekannten Werte für a = 4 cm und für β = 51,34° ein, so erhält man
Wie sieht das berechnete rechtwinklige Dreieck aus?
Das so berechnete rechtwinklige Dreieck mit vorgegebenen Seiten a = 4 cm und b = 5 cm kann anhand aller berechneten Werte folgendermaßen gezeichnet werden:
Abbildung Ergebnis
1 Kästchen entspricht 0,5 Einheiten (wie im Rechenheft)
Bevor wir näher auf die Berechnungen von rechtwinkligen Dreiecken eingehen, hier zunächst noch eine kurze Definition sowie eine Beschreibung der speziellen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck.