Gegenüber allgemeinen Dreiecken ist ein gleichseitiges Dreieck ein spezielles Dreieck, da es drei genau gleich lange Seiten hat.
Im Weiteren berechnen wir anhand eines Beispiels mit gegebener Seitenlänge die Fläche, den Umfang, die Winkel sowie die Höhen für das zu berechnende gleichseitige Dreieck. Dazu nutzen wir die speziell für gleichseitige Dreiecke vereinfachten Formeln und Berechnungsvorschriften.
Auf der Seite zu unserem Dreieck-Rechner erhalten Sie übrigens zahlreiche Informationen zur Berechnung nicht nur gleichseitiger, sondern auch allgemeiner Dreiecke. Oder besuchen Sie unsere Ratgeber zu den Themen Flächeninhalt im Dreieck und Rechtwinklige Dreiecke.
Bevor wir näher auf die Berechnungen von gleichseitigen Dreiecken eingehen, hier zunächst noch eine kurze Definition für das gleichseitige Dreieck.
Grundsätzlich ist ein Dreieck definiert durch drei Punkte in der Ebene, welche nicht auf einer Geraden liegen. Die drei Punkte bilden die Ecken des Dreiecks. Jede Verbindungsstrecke zwischen zwei solchen Ecken ist eine Seite des Dreiecks. In der Ebene begrenzt das Dreieck somit eine Fläche.
Das gleichseitige Dreieck ist insofern speziell gegenüber einem allgemeinen Dreieck, als dass alle drei Seiten des Dreiecks gleich lang sind, wie die hier gezeigte Abbildung verdeutlicht.
Standardmäßig sind die Ecken im Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben A, B, C versehen. Die diesen Ecken gegenüberliegenden Seiten erhalten die korrespondierenden Kleinbuchstaben a, b und c, wobei bei einem gleichseitigen Dreieck meist alle drei Seiten mit a beschriftet werden.
Gleichseitige Dreiecke unterscheiden sich von allgemeinen Dreiecken lediglich darin, das alle drei Seiten gleich lang sind. Grundsätzlich kann ein Dreieck u.a. genau dann eindeutig bestimmt werden, wenn alle drei Seiten a, b und c bekannt sind. Daher reicht es zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks aus, wenn nur die eine Seite bekannt ist.
Beim gleichseitigen Dreieck mit gegebener Seite a werden darüber hinaus aber auch einfachere Berechnungen ermöglicht. Zum Beispiel sind alle drei Winkel im gleichseitigen Dreieck auch immer gleich groß und betragen stets 60 Grad. Ebenso erfolgt die Berechnung der Fläche im gleichseitigen Dreieck nach einer einfacheren Formel, als es z.B. beim allgemeinen Dreieck mit drei gegebenen Seiten a, b und c der Fall ist, wie wir im Folgenden sehen werden.
Beispiel zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks
Im Weiteren zeigen wir Ihnen ein Beispiel zur Berechnung eines gleichseitigen Dreiecks, bei dem die Seitenlänge a bekannt ist. Anhand dieses einen gegebenen Wertes können nun die übrigen Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks schrittweise eindeutig bestimmt werden.
Gegeben
Gegeben sei die Seitenlänge a = 5 cm.
Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, ist damit auch bereits der Wert aller drei Seiten bekannt.
Gesucht
Gesucht ist die Fläche, der Umfang, die Winkel sowie die Höhen zu allen drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks.
Den gegebenen Wert zu Seite a können Sie im Rechner zum gleichseitigen Dreieck nach Auswahl von "Eine Seite bei gleichseitigem Dreieck" unter "Welche Werte sind gegeben?" eingeben. Der Rechner berechnet dann - wie auch bei den folgenden Berechnungen - alle gesuchten Werte für das Dreieck und gibt zudem ein grafisches Ergebnis des berechneten Dreiecks aus.
Wie wird die Fläche im gleichseitigen Dreieck berechnet?
Bei einem gleichseitigen Dreieck sind, wie der Name schon sagt, alle drei Seiten gleich lang.
Daher gilt die für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks folgende vereinfachte Formel, wobei a die Länge einer der Seiten ist
Formel für Fläche im gleichseitigen Dreieck
F = 3 / 4 × a²
Einsetzen des vorhandenen Werts für die Seitenlänge
Setzt man den Wert für a ein, so erhält man
F = 3 / 4 × 5² ≈ 10,83 cm²
Lösung
Die Fläche F des gleichseitigen Dreiecks beträgt 10,83 cm².
Wie werden die Höhen im gleichseitigen Dreieck berechnet?
Zur Berechnung der Höhe zu a im gleichseitigen Dreieck kann anstelle der komplizierteren Formel für allgemeine Dreiecke die folgende Formel genutzt werden
Formel für Höhe zu a im gleichseitigen Dreieck
ha = 3 / 2 × a
Einsetzen der vorhandenen Werte
Setzt man den bekannten Wert für a = 5 cm ein, so erhält man
ha = 3 / 2 × 5 ≈ 4,33
Lösung
Die Höhe zu a, also ha beträgt 4,33 cm.
Da die Seiten b und c genau so lang sind wie a, sind auch deren Höhen mit a identisch.
Bevor wir näher auf die Berechnungen von gleichseitigen Dreiecken eingehen, hier zunächst noch eine kurze Definition für das gleichseitige Dreieck.