Fläche vom Dreieck

Definition Dreieck

Bevor wir näher auf die Berechnung des Flächeninhalts beim Dreieck eingehen, hier zunächst noch eine kurze Definition des Dreiecks sowie im Anschluss eine Beschreibung der allgemeinen Bezeichnungen im Dreieck.

Ein Dreieck ist durch drei Punkte in der Ebene definiert, welche nicht auf einer Geraden liegen. Diese drei Punkte sind die Ecken des Dreiecks. Jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Ecken ist eine Seite des Dreiecks. In der Ebene begrenzt das Dreieck damit eine Fläche.

Wichtige Eigenschaften eines Dreiecks sind damit sein Flächeninhalt, die Länge seiner drei Seiten, der Umfang des Dreiecks, die Winkel der Seiten zueinander sowie die Höhen jeder Seite zur gegenüber liegenden Ecke.

Die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks sowie der weiteren Eigenschaften anhand entsprechender Formeln können Sie mit dem Rechner zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks einfach online durchführen. Im Folgenden erhalten Sie zudem alle Möglichkeiten zur Berechnung des Flächeninhalts inklusive der Berechnungsformeln anhand von Beispielen aufgezeigt.

Wie wird ein Dreieck beschriftet?

Die drei Ecken eines Dreiecks werden üblicherweise mit den Großbuchstaben A, B und C bezeichnet. Dabei erfolgt diese Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn und beginnt meist an der Ecke links unten mit A.

Die drei Seiten eines Dreiecks werden durch die Kleinbuchstaben a, b und c bezeichnet. Dabei wird die Seite, die der Ecke A gegenüberliegt, mit a beschriftet. Entsprechend liegt Seite b gegenüber von Ecke B und Seite c liegt gegenüber von Ecke C.

Die drei inneren Winkel eines Dreiecks werden anhand der griechischen Buchstaben α (alpha), β (beta) und γ (gamma) benannt. Sie liegen bei den entsprechenden Ecken: Zu Ecke A gehört α, bei B liegt β und bei C befindet sich der Winkel γ.

Die Höhe zur einer Seite entspricht der Lotstrecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zu dieser Seite oder zu deren Verlängerung. Damit entspricht die Höhe zu a (h_a) der Strecke zwischen der Ecke A und der gegenüberliegenden Seite a, auf der h_a senkrecht steht. Analog sind die Höhe zu b (h_b) und die Höhe zu c (h_c) definiert.

Einführung Flächeninhalt bei Dreiecken

Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, reicht bereits die Länge einer Seite zusammen mit der dazugehörigen Höhe. Anhand dieser beiden gegebenen Werte kann die Fläche des Dreiecks bestimmt werden. Auf diesen Fall gehen wir im Folgenden gleich unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit bekannter Seite und dazugehöriger Höhe h" ein.

Häufig kommt es allerdings vor, dass die Länge einer Seite nebst der dazugehörigen Höhe nicht bekannt sind. Stattdessen sind andere Eigenschaften, wie beispielsweise die Länge aller drei Seiten des Dreiecks gegeben oder andere Kombinationen von Eigenschaften gegeben, welche ebenfalls die Berechnung des Flächeninhalts ermöglichen.

Im Anschluss an den zuerst genannten Fall, bei dem eine Grundseite und die dazugehörige Höhe bekannt sind, gehen wir daher unter 2. bis 7. auf sechs weitere Kombinationen gegebener Dreiecks-Eigenschaften ein, anhand derer der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden kann. Übrigens eignen sich diese Kombinationen gegebener Werte, also 2. bis 7., nicht nur zur Berechnung für den Flächeninhalt des Dreiecks. Mittels dieser Kombinationen kann neben der Fläche auch das gesamte Dreieck berechnet werden.

1. Flächeninhalt bei Dreiecken mit bekannter Seite und dazugehöriger Höhe h

Dies ist der "klassische Fall", der im Schulunterricht meist zuerst vermittelt wird. Anhand der Länge einer Grundseite g und der dazugehörigen Höhe h kann die Dreiecksfläche mit Hilfe einer einfachen Formel berechnet werden. Jedoch reichen die beiden Angaben alleine nicht aus, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen, also etwa die Längen der übrigen Seiten zu berechnen und damit das Dreieck zu konstruieren. Zur Berechnung des reinen Flächeninhalts ist die folgende Formel hingegen bestens geeignet.

Beispiel

Wir zeigen Ihnen die Berechnung der Fläche hier anhand eines Beispiels, bei dem die Seite a eines Dreiecks mit a = 6 cm und die Höhe h_a = 4 cm gegeben sind.

Übrigens kann jede der drei Seiten a, b und c mit ihrer dazugehörigen Höhe h zur Berechnung der Fläche F verwendet werden.

Die jeweilige Grundseite und die Höhe müssen natürlich in der gleiche Maßeinheit angegeben werden. Wenn also zum Beispiel die Grundseite in mm und die Höhe in cm angegeben sind, müssen sie zunächst zu einer der beiden Maßeinheiten umgerechnet werden, bevor die Fläche des Dreiecks berechnet werden kann. Dies gilt selbstverständlich auch für alle weiteren, noch folgenden Flächenberechnungen.

2. Flächeninhalt bei Dreiecken mit drei bekannten Seiten

Sobald alle drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind, können auch alle Eigenschaften des Dreiecks berechnet werden. Wir möchten hier Herons Formel zur Berechnung des Flächeninhalts für das Dreieck vorstellen.

Beispiel

Wir zeigen Ihnen die Berechnung der Fläche des Dreiecks hier anhand eines Beispiels, bei dem die Seiten mit a = 4 cm, b = 6 cm und c = 6 cm gegeben sind.

3. Flächeninhalt bei gleichseitigen Dreiecken mit bekannter Seite

Ist bei einem gleichseitigen Dreieck die Länge einer Seite bekannt, so kennt man naturgemäß die Länge aller drei Seiten, denn die beiden übrigen Seiten haben ja auch die gleiche Länge. Damit haben wir schließlich ein Dreieck mit drei bekannten Seiten. Wir könnten nun wie unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit drei bekannten Seiten" mittels Herons Formel fortfahren, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen. Jedoch vereinfacht sich diese Formel aufgrund der Tatsache, dass alle drei Seiten gleich lang sind.

Beispiel

Wir zeigen Ihnen die Berechnung der Fläche hier anhand eines Beispiels, bei dem das gleichseitige Dreieck eine Seitenlänge von a hat.

4. Flächeninhalt bei Dreiecken mit zwei bekannten Seiten und dem davon eingeschlossenen Winkel

Bei zwei bekannten Seiten und dem davon eingeschlossenen Winkel können alle Eigenschaften und damit auch die Fläche eines Dreiecks berechnet werden.

Man könnte nun beispielsweise zunächst die Höhe zu einer der bekannten Seiten bestimmen (z.B. bei bekannten Seiten a und b mit eingeschlossenem Winkel γ die Höhe zu b mittels h_b = a × sin γ) und dann, wie unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit bekannter Seite und dazugehöriger Höhe h" beschrieben, mit der Formel F = ½ × b × h_b fortfahren.

Wir möchten hier hingegen zunächst die fehlende dritte Seite mit Hilfe des allgmeienen Kosinussatzesberechnen und dann, wie unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit drei bekannten Seiten" beschrieben, anhand Herons Formel die Fläche des Dreiecks mit Hilfe aller drei dann bekannten Seiten berechnen.

Beispiel

Die Berechnung der Fläche erfolgt hier anhand eines Beispiels, bei dem die beiden Seiten a = 4 cm, b = 6 cm und der durch a und b eingeschlossene Winkel γ = 70 Grad beträgt.

Da nun die Längen aller drei Seiten mit a = 4 cm, b = 6 cm und c = 5,97 cm gegeben sind, kann "Herons Formel" zur Berechnung der Fläche angewandt werden. Diese lautet

5. Flächeninhalt bei rechtwinkligen Dreiecken mit bekannten Katheten

Sind bei einem rechtwinkligen Dreieck die Längen der beiden am rechten Winkel liegenden Katheten bekannt, so hat man praktisch einen Spezialfall zum vorherigen Verfahren unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit zwei bekannten Seiten und dem davon eingeschlossenen Winkel", denn der Winkel, der durch die beiden Katheten eingeschlossen ist, ist ja bekannt und beträgt 90 Grad.

Wir könnten nun dort unter 4. mit der Berechnung fortfahren, also zunächst die Länge der noch unbekannten Seite unter Zuhilfenahme des Kosinussatzes berechnen und dann mittels Herons Formel den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen. Jedoch erlaubt ein rechtwinkliges Dreieck bei zwei gegebenen Katheten eine wesentlich einfachere Berechnung der Fläche.

Beispiel

In unserem Beispiel sind uns zur Berechnung des Flächeninhalts für das rechtwinklige Dreieck dessen beiden Katheten a und b mit a = 4 cm und b = 5 cm bekannt.

Die Formel ist aufgrund des rechten Winkels zwischen den zwei bekannten Seiten sehr ähnlich der Flächenformel, die hier unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit bekannter Seite und dazugehöriger Höhe h" (F = ½ × g × h_g) verwendet wird. Dies liegt daran, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe zu a genau b ist bzw. umgekehrt die Höhe zur Kathete b ist genau a ist.

Die Flächenformel für das rechtwinklige Dreieck lässt sich veranschaulichen, indem man das rechtwinklige Dreieck dupliziert und die beiden Dreiecke an ihrer längsten Seite - der Hypotenuse - so aneinander legt, dass ein Rechteck entsteht. Dieses Rechteck hat die Fläche a × b (Kathete a mal Kathete b). Somit hat das Dreieck vor dem Duplizieren genau die halbe Fläche, also ½ × a × b.

6. Flächeninhalt bei Dreiecken mit einer bekannten Seite und zwei bekannten Winkeln

Für die Konstellation, bei der für ein allgemeines Dreieck eine beliebige Seite und zwei beliebige Winkel bekannt sind, muss zur Berechnung des Flächeninhalts etwas mehr Vorarbeit geleistet werden: Wir berechnen im folgenden Beispiel zunächst den noch fehlenden Winkel mit Hilfe des Winkelsummensatzes. Anhand der dann bekannten drei Winkel können die beiden verbleibenden Seiten anhand des Sinussatzes bestimmt werden. Wenn dann alle drei Seiten bekannt sind, können wir wie unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit drei bekannten Seiten" mittels Herons Formel fortfahren, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen.

Beispiel

Hier nun ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks anhand der gegebenen Seite a = 4 cm und den beiden Winkeln α = 40 Grad sowie β = 70 Grad.

Nun können anhand der vorhandenen Seite und Winkel die verbleibenden beiden Seiten b und c bestimmt werden. Dazu wird jeweils der Sinussatz genutzt.

Analog kann anhand des entsprechenden Sinussatzes zu c auch die Länge von c berechnet werden.

Nun, da alle drei Seiten bekannt sind, kann wieder wie unter "Flächeninhalt bei Dreiecken mit drei bekannten Seiten" mit Hilfe von Herons Formel fortfahren, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu berechnen.