Dreieck berechnen - Berechnung von Fläche, Seiten, Winkeln, Umfang und Höhe

Inhalte zum Thema "Dreieck berechnen"

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Definition Dreieck

Ein Dreieck lässt sich durch drei Punkte in der Ebene definieren, die nicht auf einer Geraden liegen. Diese Punkte werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen jeweils zwei Ecken sind die Seiten des Dreiecks. Das Dreieck begrenzt in der Ebene damit eine Fläche.

Wichtige Eigenschaften eines Dreiecks sind seine Fläche, die Länge seiner drei Seiten, der Umfang des Dreiecks, die Winkel der Seiten zueinander sowie die Höhen jeder Seite zur gegenüber liegenden Ecke. Die Berechnung dieser Dreiecks­eigenschaften und deren Umrechnung anhand entsprechender Formeln kann mit dem Dreieck-Rechner bequem durchgeführt werden und wird im Folgenden weiter vertieft.

Hier finden Sie übrigens gesonderte Artikel zum Thema Flächeninhalt im Dreieck, zur Berechnung rechtwinkliger Dreiecke und zur Berechnung gleichseitiger Dreiecke.

Wie heißen die drei Ecken eines Dreiecks?

Bei einem Dreieck werden die drei Ecken üblicherweise mit den Großbuchstaben A, B und C beschriftet. Dabei erfolgt die Beschriftung mit A, B und C in der Regel gegen den Uhrzeigersinn und beginnt an der Ecke links unten mit A.

Wie heißen die drei Seiten eines Dreiecks?

Die drei Seiten eines Dreiecks werden mit den Kleinbuchstaben a, b und c beschriftet. Dabei wird die Seite, die der Ecke A gegenüberliegt, mit a beschriftet, gegenüber von Ecke B liegt die Seite b und gegenüber von C liegt die Seite c.

Wie heißen die drei Winkel eines Dreiecks?

Die drei inneren Winkel eines Dreiecks werden mit den griechischen Buchstaben α (alpha), β (beta) und γ (gamma) bezeichnet. Sie liegen bei den entsprechenden Ecken, das heißt bei Ecke A liegt α, bei B liegt β und bei C befindet sich der Winkel γ.

Was ist die Höhe eines Dreiecks?

Die Höhe zur einer Grundseite entspricht der Lotstrecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Grundseite oder deren Verlängerung. Somit entspricht die Höhe zu a (h_a) der Strecke zwischen der Ecke A und der gegenüberliegenden Seite a, auf der h_a senkrecht steht. Entsprechend sind die Höhe zu b (h_b) und die Höhe zu c (h_c) definiert.

Welche Werte sind gegeben?

Wählen Sie bitte aus, welche Werte des Dreiecks zur Berechnung der Fläche oder weiterer Eigenschaften des Dreiecks vorliegen. Dabei kann anhand der ersten Auswahl "Eine Seite und dazugehörige Höhe h" zwar recht einfach die Fläche eines Dreiecks berechnet werden, jedoch reichen die beiden Angaben nicht aus, um daraus ein ganzes Dreieck exakt zu berechnen.

Um ein Dreieck eindeutig zu berechnen, sind andere bzw. weitere gegebene Werte erforderlich: Sind jeweils die Werte einer der weiteren hier auswählbaren Optionen gegeben, kann ein eindeutiges Dreieck dazu konstruiert werden. Bei diesen Optionen werden auch die üblichen, dazu passenden Abkürzungen angezeigt. Dabei steht "S" für die Übereinstimmung einer Seitenlänge und "W" für die Übereinstimmung eines Winkels. Nur anhand dieser Optionen kann ein Dreieck eindeutig berechnet werden. Z.B kann ein Dreieck anhand von nur drei gegebenen Winkeln (WWW) nicht eindeutig bestimmt werden.

Im Folgenden werden alle auswählbaren Optionen, also Kombinationen gegebener Werte, im Deteil beschrieben.

Eine Seite und dazugehörige Höhe h

Wählen Sie diese Option bitte aus, wenn Ihnen die Länge einer Seite a, b, oder c des Dreiecks und die jeweils dazugehörige Höhe bekannt sind. Dabei entspricht die Höhe eines Dreiecks zu einer Grundseite g stets der Lotstrecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Seite g oder deren Verlängerung. Anhand der Länge einer Seite des Dreiecks und der dazugehörigen Höhe h kann die Fläche F des Dreiecks berechnet werden. Die Berechnung der übrigen Seiten und Höhen sowie der Winkel ist anhand dieser beiden gegebenen Werte jedoch nicht möglich.

Alle drei Seiten a, b und c (SSS)

Wählen Sie diese Option bitte aus, wenn Ihnen die Längen aller drei Seiten des Dreiecks bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation mit drei gegebenen Seiten häufig auch abgekürzt als "SSS". Anhand dieser Angaben kann das ganze Dreieck konstruiert werden. Es kann also sowohl die Fläche, der Umfang des Dreiecks, die Höhen zu a, b und c sowie die Winkel α β und γ berechnet werden.

Eine Seite bei gleichseitigem Dreieck (SSS)

Wählen Sie diese Option bitte aus, wenn das Dreieck gleichseitig, also drei gleich lange Seiten mit bekannter Länge a hat. Dieser Fall für das gleichseitige Dreieck ist ein Spezialfall zur SSS-Berechnung im allgemeinen Dreieck, da mit einer gegebenen Seite gleich alle drei Seiten bekannt sind. Man könnte zur Berechnung des Dreiecks also auch die vorherige Option "Alle drei Seiten a, b und c (SSS)" wählen, jedoch ermöglichen hier vereinfachte Formeln die Berechnung des gleichseitigen Dreiecks.

Zur Berechnung der Fläche und aller anderen Eigenschaften des Dreiecks ist also nur die Länge einer Seite notwendig, da damit zugleich die Länge aller drei Seiten gegeben ist. Damit lasen sich alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks berechnen und daher das gesamte Dreieck konstruieren.

Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)

Wählen Sie diese bitte aus, wenn zwei Seiten des Dreiecks nebst dem davon eingeschlossenem Winkel bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation, bei der ein Winkel und dessen umschließenden Seiten bekannt sind, häufig auch abgekürzt als "SWS". Damit kann z.B. die Länge der dritten Seite berechnet werden, so dass in der Folge wiederum alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks berechnet werden können.

Zwei Katheten bei rechtwinkligem Dreieck (SWS)

Wählen Sie dies bitte aus, wenn Ihnen die Längen dieser beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind. Die Katheten sind die beiden Seiten, die am rechten Winkel des Dreiecks anliegen, während die sogenannte Hypotenuse dem rechten Winkel des Dreiecks gegenüberliegt.

Damit bildet der Fall mit zwei gegebenen Katheten einen Spezialfall zur SWS-Berechnung im allgemeinen Dreieck, da der dazwischenliegende Winkel mit 90 Grad ohnehin bekannt ist. Man könnte zur Berechnung des Dreiecks also auch die vorherige Option "Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)" wählen, jedoch ermöglichen hier vereinfachte Formeln die Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck genügen also diese zwei Seiten, nämlich die Werte der beiden Katheten, um alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks zu berechnen und damit das gesamte Dreieck zu konstruieren.

Eine Seite und zwei Winkel (SWW, WWS, WSW)

Wählen Sie diese bitte aus, wenn eine beliebige Seite des Dreiecks sowie zwei beliebige Winkel bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation, bei der eine Seite und zwei Winkel bekannt sind, häufig auch abgekürzt als "WWS", "SWW" oder "WSW". Damit kann z.B. über den Winkelsummensatz der dritte Winkel berechnet werden und in der Folge wiederum alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks.

Zwei Seiten und ein Winkel der längeren Seite gegenüber (SsW, WsS)

Wählen Sie diese bitte aus, wenn zwei Seiten des Dreiecks sowie der zur längeren gegebenen Seite gegenüberliegende Winkel bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation, bei der zwei Seiten und der gegenüber­liegende Winkel der längeren Seite bekannt sind, häufig auch abgekürzt als "SsW" oder "WsS".

Damit kann etwa mit Hilfe des Sinussatzes der Winkel berechnet werden, welcher der kleineren gegebenen Seite gegenüberliegt. Anschließend kann über den Winkelsummensatz der dritte gesuchte Winkel bestimmt werden und schließlich das gesamte Dreieck eindeutig berechnet sowie konstruiert werden. Sollte nur der Winkel gegeben sein, der gegenüber der kürzeren gegebenen Seite liegt, kann das Dreieck hingegen nicht eindeutig berechnet werden.